本文摘要：行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是辩论线性方程组理论的有力工具，而且还普遍的应用于数学及其他科学技术领域．本篇主要利用行列式的性质，对维向量向量的向量乘积、混合乘积的定义、性质展开证明．【关键词】阶行列式；向量乘积；混合乘积1.以备科学知识1.1级行列式的性质性质1行列交换，行列式恒定．即．性质2．这就是说，一行的公因子可以明确提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相等于用这个数乘此行列式．令其，就有，如果行列式中一不道德零，那么行列式为零．性质3．这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就相等两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外仅有与原本行列式的对应的行一样．性质4如果行列式中有两行完全相同，那么行列式为零．所谓两行完全相同就是说两行的对应元素都大于．性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零．性质6把一行的倍数添加另一行，行列式恒定．性质7对调行列式中两行的方位，行列式反号．事例1划为四维佩向量，．未知，欲．解从的第二、四列托公因子得再行调换行列式的第一、二列得再行调换行列式的第一、四列得．1.2矩阵乘积的行列式与秩定理1设，是数域上的两个矩阵，那么，即矩阵乘积的行列式相等它的因子行列式的乘积．1.3标准向量恩定理2对于维欧式空间中给定一组恩，都可以寻找一组标准向量恩，使，．定义1级实数矩阵称作正交矩阵，如果．因此，由标准向量基到标准向量基的过度矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准向量恩，同时过度矩阵是正交矩阵，那么第二组恩一定也是标准向量恩．1.4向量乘积与混合乘积的定义定义2两个向量和的向量乘积是一个向量，记作或，它的模是，它的方向与和都横向，并且按，，这个顺序包含右手标架．定义3等价空间的三个向量，，，如果先作前两个向量和的向量乘积，再行不作扣除的向量与第三个向量的数量乘积，最后获得的这个数叫作，，的混合乘积，记作或或．2.维向量的向量乘积2.1向量乘积的定义定义4另设是维欧式空间的标准向量恩，令其，．个向量的向量乘积定义为，记作，其中．似乎．下面来证明．由，，，，，，，，故，从而．事例2证明范德蒙德行列式对给定的级行列式相等这个数的所有有可能的劣的乘积．我们对作归纳法．当时，结果是对的．另设对于级的范德蒙德行列式结论正式成立，现在来看级的情形．在中，第列乘以第列的倍，第列乘以第列的倍.也就是由上而下依序地从每一行乘以它上一行的倍，有后面这行列式是一个级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它相等所有有可能劣的乘积；而包括的劣仅有在前面经常出现了.因之，结论对于级范德蒙德行列式也正式成立.根据数学归纳法，已完成了证明.2.2向量乘积的性质命题1另设和都是维欧式空间的标准向量恩，是的一个向量组，则证明设则设，，令其由于则．故．命题1.2解释向量乘积与标准向量基的自由选择最少劣一个负号．因此，下面都取定维欧式空间的一个标准向量基为，并将个向量的向量积记为．定理1　线性牵涉到组的扩展组也线性牵涉到，即若线性牵涉到，则也线性牵涉到．由行列式的性质，我们有命题2若向量组线性相关，则证明由定理１的逆否命题，闻，这里的，．所以事例未知维单位向量座标能由一组向量回应，则由此可知向量组线性牵涉到．证明由题由此可知，不存在常数，使得则或其中，，两端所取行列式，得故，因此，向量组线性牵涉到．命题3对于向量组，若,则证明未知，由行列式的性质3求得．命题4证明由行列式的性质7求得．未知，，则．即，说是魁排序的时候，；同理可得，说是极排序的时候，．另设是维欧式空间的一个线性牵涉到组，经过标准向量化过程，可以获得阶上三角矩阵和标准向量恩使得，其中．命题5．证明由得，即．3.维向量的混合乘积3.1混合乘积的定义定义5另设是维欧式空间的标准向量恩，的内积记为，．个向量的混合乘积定义为记作其中．似乎，．这是因为．3.2混合乘积的性质命题6和都是维欧式空间标准向量恩，是的一个向量组，则证明设则设．令其则．故命题6解释混合乘积与标准向量基的自由选择最少劣一个负号．因此，下面都取定维欧式空间的一个标准向量基为，并将个向量的向量积记为由行列式的性质，我们有命题7证明根据内积的定义，这里只要等式左边按第列进行即获得等式右边．命题8若向量组线性相关，则证明由定理1的逆否命题，闻，这里的，．例在中的个向量，，，是线性牵涉到的，而，是线性相关的．命题9对于向量组，若则．证明未知，由行列式的性质3求得．命题10证明由性质7才可得证．事例计算出来．解法通过互相交换讫的方位，将变成标准的范德蒙行列式．第行经过次互相交换后变到第一行；第行经过次互相交换后变到第二行；以此类推，经过次互相交换后，变为标准范德蒙行列式，即．记，，，，，，则．另设是维欧式空间的一个线性牵涉到组，经过标准向量化过程可以获得阶上三角矩阵和规范向量向量组使得，其中．命题11证明由即．参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003，60-66，175-177．[2]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006，37-54．[3]陈恭亮，叶明训郑延履.线性空间重要著作（第3版）[M].北京：清华大学出版社，2009，56-57．[4]魏战线.线性代数自学指导典型题解[M].西安：西安交通大学出版社，2008，102-103．[5]王中良.线性代数与解析几何[M].北京：科学出版社，2000，21-22．[6]俞南雁，韩瑞珠，周建华.线性代数与空间解析几何[M].北京：科学出版社，1999，61-62．[7]杨奇，田代军，韩维信.线性代数与解析几何[M].天津：天津大学出版社，2002，10，192-194．[8]白同亮，高桂英.线性代数及其应用于[M].北京：北京邮电大学出版社，2007.23-24．Norderdeterminantandouterproduct,mixedproductofndimensionalvectorTianTanfeng2010031532Advisor：LiuHongjinMajorinPureandAppliedMathematicsCollegeofMathematicsandComputerScience【Abstract】Thedeterminantisabasicconceptinalgebra.Itisnotonlyapowerfultooltodiscussthetheoryoflinearequations,butalsowidelyusedinmathematicsandotherscientificandtechnicalareas.Thispapermainlywegivethedefinitionandpropertiesofoutervector,mixedproductbyusingthepropertiesofdeterminant,.
行列式是代数学中的一个基本概念，它不仅是辩论线性方程组理论的有力工具，而且还普遍的应用于数学及其他科学技术领域．本篇主要利用行列式的性质，对维向量向量的向量乘积、混合乘积的定义、性质展开证明．【关键词】阶行列式；向量乘积；混合乘积1.以备科学知识1.1级行列式的性质性质1行列交换，行列式恒定．即．性质2．这就是说，一行的公因子可以明确提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相等于用这个数乘此行列式．令其，就有，如果行列式中一不道德零，那么行列式为零．性质3．这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就相等两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外仅有与原本行列式的对应的行一样．性质4如果行列式中有两行完全相同，那么行列式为零．所谓两行完全相同就是说两行的对应元素都大于．性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零．性质6把一行的倍数添加另一行，行列式恒定．性质7对调行列式中两行的方位，行列式反号．事例1划为四维佩向量，．未知，欲．解从的第二、四列托公因子得再行调换行列式的第一、二列得再行调换行列式的第一、四列得．1.2矩阵乘积的行列式与秩定理1设，是数域上的两个矩阵，那么，即矩阵乘积的行列式相等它的因子行列式的乘积．1.3标准向量恩定理2对于维欧式空间中给定一组恩，都可以寻找一组标准向量恩，使，．定义1级实数矩阵称作正交矩阵，如果．因此，由标准向量基到标准向量基的过度矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组基是标准向量恩，同时过度矩阵是正交矩阵，那么第二组恩一定也是标准向量恩．1.4向量乘积与混合乘积的定义定义2两个向量和的向量乘积是一个向量，记作或，它的模是，它的方向与和都横向，并且按，，这个顺序包含右手标架．定义3等价空间的三个向量，，，如果先作前两个向量和的向量乘积，再行不作扣除的向量与第三个向量的数量乘积，最后获得的这个数叫作，，的混合乘积，记作或或．2.维向量的向量乘积2.1向量乘积的定义定义4另设是维欧式空间的标准向量恩，令其，．个向量的向量乘积定义为，记作，其中．似乎．下面来证明．由，，，，，，，，故，从而．事例2证明范德蒙德行列式对给定的级行列式相等这个数的所有有可能的劣的乘积．我们对作归纳法．当时，结果是对的．另设对于级的范德蒙德行列式结论正式成立，现在来看级的情形．在中，第列乘以第列的倍，第列乘以第列的倍.也就是由上而下依序地从每一行乘以它上一行的倍，有后面这行列式是一个级的范德蒙德行列式，根据归纳法假设，它相等所有有可能劣的乘积；而包括的劣仅有在前面经常出现了.因之，结论对于级范德蒙德行列式也正式成立.根据数学归纳法，已完成了证明.2.2向量乘积的性质命题1另设和都是维欧式空间的标准向量恩，是的一个向量组，则证明设则设，，令其由于则．故．命题1.2解释向量乘积与标准向量基的自由选择最少劣一个负号．因此，下面都取定维欧式空间的一个标准向量基为，并将个向量的向量积记为．定理1　线性牵涉到组的扩展组也线性牵涉到，即若线性牵涉到，则也线性牵涉到．由行列式的性质，我们有命题2若向量组线性相关，则证明由定理１的逆否命题，闻，这里的，．所以事例未知维单位向量座标能由一组向量回应，则由此可知向量组线性牵涉到．证明由题由此可知，不存在常数，使得则或其中，，两端所取行列式，得故，因此，向量组线性牵涉到．命题3对于向量组，若,则证明未知，由行列式的性质3求得．命题4证明由行列式的性质7求得．未知，，则．即，说是魁排序的时候，；同理可得，说是极排序的时候，．另设是维欧式空间的一个线性牵涉到组，经过标准向量化过程，可以获得阶上三角矩阵和标准向量恩使得，其中．命题5．证明由得，即．3.维向量的混合乘积3.1混合乘积的定义定义5另设是维欧式空间的标准向量恩，的内积记为，．个向量的混合乘积定义为记作其中．似乎，．这是因为．3.2混合乘积的性质命题6和都是维欧式空间标准向量恩，是的一个向量组，则证明设则设．令其则．故命题6解释混合乘积与标准向量基的自由选择最少劣一个负号．因此，下面都取定维欧式空间的一个标准向量基为，并将个向量的向量积记为由行列式的性质，我们有命题7证明根据内积的定义，这里只要等式左边按第列进行即获得等式右边．命题8若向量组线性相关，则证明由定理1的逆否命题，闻，这里的，．例在中的个向量，，，是线性牵涉到的，而，是线性相关的．命题9对于向量组，若则．证明未知，由行列式的性质3求得．命题10证明由性质7才可得证．事例计算出来．解法通过互相交换讫的方位，将变成标准的范德蒙行列式．第行经过次互相交换后变到第一行；第行经过次互相交换后变到第二行；以此类推，经过次互相交换后，变为标准范德蒙行列式，即．记，，，，，，则．另设是维欧式空间的一个线性牵涉到组，经过标准向量化过程可以获得阶上三角矩阵和规范向量向量组使得，其中．命题11证明由即．参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003，60-66，175-177．[2]吕林根，许子道.解析几何（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2006，37-54．[3]陈恭亮，叶明训郑延履.线性空间重要著作（第3版）[M].北京：清华大学出版社，2009，56-57．[4]魏战线.线性代数自学指导典型题解[M].西安：西安交通大学出版社，2008，102-103．[5]王中良.线性代数与解析几何[M].北京：科学出版社，2000，21-22．[6]俞南雁，韩瑞珠，周建华.线性代数与空间解析几何[M].北京：科学出版社，1999，61-62．[7]杨奇，田代军，韩维信.线性代数与解析几何[M].天津：天津大学出版社，2002，10，192-194．[8]白同亮，高桂英.线性代数及其应用于[M].北京：北京邮电大学出版社，2007.23-24．Norderdeterminantandouterproduct,mixedproductofndimensionalvectorTianTanfeng2010031532Advisor：LiuHongjinMajorinPureandAppliedMathematicsCollegeofMathematicsandComputerScience【Abstract】Thedeterminantisabasicconceptinalgebra.Itisnotonlyapowerfultooltodiscussthetheoryoflinearequations,butalsowidelyusedinmathematicsandotherscientificandtechnicalareas.Thispapermainlywegivethedefinitionandpropertiesofoutervector,mixedproductbyusingthepropertiesofdeterminant,.
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